A menudo resulta complicado imaginar las consecuencias reales del crecimiento exponencial. Para ilustrarlo, suele recurrirse a una antigua historia relacionada con la invención del ajedrez. Según la leyenda, cuando el creador del juego presentó su invento al rey, este quedó tan impresionado que le ofreció la recompensa que él mismo quisiera. El inventor pidió algo aparentemente modesto: que se colocara un solo grano de arroz en la primera casilla del tablero, dos en la segunda, cuatro en la tercera, y así sucesivamente, duplicando la cantidad en cada casilla hasta completar las 64. El rey aceptó sin dudarlo, creyendo que la recompensa era insignificante. Sin embargo, pronto descubrió que la humilde petición escondía un crecimiento descomunal: al llegar a las últimas casillas, la cantidad de arroz se hacía tan enorme que superaba toda la producción del reino durante siglos. Lo que parecía un ejercicio trivial acababa revelando la sorprendente potencia del crecimiento exponencial, un fenómeno que, aunque comienza de manera casi imperceptible, puede conducir a cifras astronómicas en muy pocos pasos.
Si acumulamos el arroz correspondiente a las casillas del tablero, la suma Sn=2n−1 supera la producción mundial anual actual al completar la casilla 55. La referencia que tomamos es la estimación más reciente de la FAO para 2025/2026, en torno a 563,4 millones de toneladas, suponiendo que un kilogramo de arroz incluye aproximadamente 50000 granos. Este resultado muestra que el crecimiento exponencial acumulado desborda en pocas etapas incluso magnitudes productivas globales.
Hemos necesitado 55 duplicaciones para alcanzar un límite físico significativo. En el ámbito de la electrónica y las telecomunicaciones, este tipo de crecimiento por factores de dos se describe habitualmente empleando el término “octava”, tomado por analogía de la música, donde cada octava representa igualmente una duplicación de la frecuencia. Nos quedaremos con este dato: en el caso del arroz, la producción mundial abarca un crecimiento exponencial de 55 octavas.
¿Cuánto tiempo requiere un crecimiento exponencial para duplicar una magnitud? Se suele proporcionar la siguiente regla de oro: un crecimiento del x% anual duplica la magnitud en 70/x años. Un crecimiento del 2% anual requeriría 35 años para duplicar, y un crecimiento del 7% anual requeriría solo 10 años. La demostración de esta regla no es difícil [1. nota].
Para entender la rapidez del crecimiento exponencial, a menudo este se nos explica imaginando una placa de Petri inoculada con un único microorganismo. Bajo condiciones óptimas de laboratorio, muchas bacterias de crecimiento rápido —como Escherichia coli— presentan un tiempo de duplicación de unos 20 minutos. Si partimos de una sola célula y ésta se divide sucesivamente, la población sigue la progresión 2n, de modo que, tras unas 30 duplicaciones, se alcanzan del orden de mil millones de células, que es aproximadamente la capacidad de una placa de Petri. Esto implica que, supuestamente, la placa quedaría totalmente colonizada en unas 10 horas (30×20’).
Aunque este ejemplo es habitual en divulgación científica, también resulta engañoso si se interpreta de manera literal. Podría afirmarse que, si una bacteria duplica su población cada 20 minutos, la placa estará medio llena apenas 20 minutos antes de quedar completamente saturada, y un 12,5% llena solo una hora antes del colapso total. Esta conclusión es correcta solo bajo la suposición estricta de un crecimiento exponencial ilimitado, pero esa suposición es falsa en cualquier sistema biológico real. En una placa de Petri —como en cualquier entorno finito— la población no continúa duplicándose hasta el instante final: mucho antes de que la superficie esté completamente cubierta, las bacterias empiezan a experimentar reducción de nutrientes, acumulación de desechos, competencia por el espacio y limitaciones metabólicas que ralentizan drásticamente la tasa de crecimiento. En estas circunstancias, la dinámica deja de ser exponencial y pasa a describirse mejor mediante un modelo logístico, en el que el crecimiento se frena progresivamente conforme la población se aproxima a un límite o capacidad de carga. Por ello, la imagen de un crecimiento imparable que se mantiene intacto hasta el último instante de “colapso” es una simplificación útil para ilustrar la potencia de las duplicaciones, pero no refleja el comportamiento real de un cultivo microbiano, ni de otros muchos sistemas físicos (de hecho, de la inmensa mayoría).
Un poco de análisis matemático (no mucho)
Vamos a expresar matemáticamente lo dicho hasta ahora.
El crecimiento exponencial es aquel en el que la variación temporal de una magnitud es proporcional a dicha magnitud. Por ejemplo, un crecimiento del 1% anual es un crecimiento exponencial. Analíticamente, supongamos una función f(t):
Donde a es la tasa de crecimiento (por ejemplo, el 1% anual, 0,01). En este caso, la función f(t), con t expresado en años, se expresa así (para ello tenemos que resolver la ecuación diferencial anterior):
Siendo f0 el valor que toma f en el instante t=0. [2. nota].
El comportamiento exponencial tiene otra particularidad muy especial. Si una magnitud crece exponencialmente, el ritmo de variación del crecimiento también será exponencial (el crecimiento del crecimiento: la derivada de f), y el crecimiento acumulado total (la integral de f) también será exponencial [3. nota]. Esto hace que si una magnitud tiene un comportamiento exponencial, este comportamiento se manifestará también en otras magnitudes directamente relacionadas.
Analicemos ahora el comportamiento logístico —el tipo de crecimiento de una población de bacterias en una placa de Petri—. La expresión más simple de una función logística (haciendo igual a 1 diversos coeficientes, por simplicidad; es la función logística estándar) es la siguiente:
En la resolución de esta ecuación diferencial, f(t) parte de valores muy pequeños (f(0) casi 0), y nunca supera el valor 1. En las siguientes figuras se muestra el comportamiento de la función logística en función del tiempo (Fuente: Logistic function, wikipedia).
La gráfica superior izquierda (“position”) muestra la evolución temporal de la función f. Tiene forma de S; por ello, también se la denomina función sigmoide. El arranque del crecimiento de la curva es exponencial. Puede comprobarse que si f(t)<<1 (como sucede al inicio), la ecuación diferencial resultante es idéntica a la del crecimiento exponencial. La gráfica inferior izquierda (“velocity”) muestra el ritmo de crecimiento de la función. El arranque también es exponencial, pero alcanza un máximo y a partir de ahí el crecimiento se ralentiza, hasta que se hace casi nulo. Tiene forma de campana. Esto hace que la función f tienda a 1, y nunca supere ese valor. La gráfica superior derecha (“acceleration”) muestra el ritmo de variación del crecimiento. Arranca exponencialmente, mientras subimos por la campana del crecimiento su valor es positivo, en la cima de la campana se hace cero, y en el descenso de la campana su valor se hace negativo (el crecimiento decrece, hasta hacerse casi nulo).
El comportamiento logístico es muy sencillo de modelar y analizar. Multitud de fenómenos en la naturaleza sujetos a procesos de crecimiento que a su vez están limitados por factores externos se pueden modelar de forma aproximada mediante variantes de la función logística. Los sistemas crecen exponencialmente en un principio, hasta que los límites externos (disponibilidad de espacio, recursos materiales, energéticos, sumideros para los desechos, límites estructurales) acaban imponiendo un límite al crecimiento [4. nota].
Ejemplos en la Naturaleza de crecimiento exponencial con tendencia a la saturación
El número de células del cuerpo humano evoluciona desde una única célula (cigoto) tras la fecundación hasta unos 30 billones en la edad adulta. En los primeros días el crecimiento es exponencial, pasando de 1 a unas 100–200 células en el blastocisto. Durante el desarrollo embrionario y fetal el número aumenta varios órdenes de magnitud, alcanzando alrededor de 1012 células al nacer. Tras el nacimiento el crecimiento se desacelera hasta estabilizarse en la adultez, donde existe un equilibrio dinámico entre división y muerte celular. En total, el crecimiento del número de células del cuerpo humano abarca aproximadamente 45 octavas durante 18 años, aunque las primeras 40 octavas se recorren durante los primeros 5 meses de gestación. A partir de ese momento el crecimiento del número de células es mucho más moderado, y algunas células crecen, sobre todo, en tamaño. La siguiente figura muestra esta evolución.
Obsérvese que el eje vertical de la gráfica presenta un escalado logarítmico, en vez de lineal. En una representación con eje vertical logarítmico, el crecimiento exponencial aparece como una recta, lo que refleja que la magnitud se multiplica por un mismo factor en intervalos de tiempo iguales.
Otro ejemplo de crecimiento exponencial con tendencia a la saturación lo tenemos en el ámbito de la electrónica, en concreto en el comportamiento de un diodo. El diodo es una unión pn de material semiconductor, y es el dispositivo más básico de la microelectrónica. Al aplicar una diferencia de tensión positiva (V) entre sus contactos, una corriente eléctrica (I) circula a través del diodo. La ecuación que relaciona la corriente y la tensión en una unión pn (un diodo) combina principios de la física cuántica, la mecánica estadística y la termodinámica clásica, fue propuesta por Shockley (uno de los inventores del transistor) en 1949 y presenta un comportamiento exponencial. En un diodo ideal:
Donde IS es la corriente de saturación del diodo, VT es un parámetro que depende de la temperatura (en torno a 26 mV a temperatura ambiente), y n es un factor de idealidad entre 1 y 2. Este comportamiento exponencial hace que un diodo conduzca muy altas corrientes que lo llevarían a su destrucción, si la tensión aplicada alcanza poco más de un voltio. Pero en un diodo real se dan otros fenómenos que hacen que la corriente que por él circula nunca sea demasiado grande. Las diversas secciones del diodo presentan pequeñas resistencias óhmnicas (ΣR) al paso de corriente que limitan la tensión aplicada a la unión:
En el caso de un diodo de silicio típico como el 1N4007, el más popular en nuestros laboratorios docentes de electrónica, la corriente aumenta exponencialmente con la tensión aplicada desde corrientes del orden de nanoamperios hasta alrededor de un amperio. A partir de ese punto, la resistencia serie del dispositivo introduce una limitación óhmica que hace que el crecimiento deje de ser exponencial. El crecimiento exponencial de la corriente en este diodo se extiende, por tanto, a lo largo de aproximadamente 30 octavas, y está autolimitado por otros mecanismos inherentes al funcionamiento del dispositivo (por ejemplo la existencia de resistencias óhmnicas).
El crecimiento exponencial no es exclusivo de sistemas biológicos o modelos matemáticos abstractos. También aparece de forma muy clara en el desarrollo de la microelectrónica. El ejemplo más conocido es la llamada ley de Moore. Formulada en 1965 por Gordon Moore —que junto a otros siete científicos abandonaría la empresa de fabricación de diodos de Shockley por su estilo autoritario y fundarían las empresas Fairchaild e Intel a finales de los 50 del siglo pasado—, esta ley establece que el número de transistores que pueden integrarse en un circuito integrado se duplica aproximadamente cada dos años. Dado que el número de transistores está directamente relacionado con la capacidad de procesamiento, esta duplicación implica un crecimiento exponencial de la potencia de cálculo. En otras palabras, cada dos años se produce una “octava” tecnológica: la capacidad de proceso de los microprocesadores se multiplica por dos. Este comportamiento se ha mantenido, con notable regularidad, durante más de medio siglo, constituyendo uno de los ejemplos más espectaculares y sostenidos de crecimiento exponencial en un sistema tecnológico.
¿Cuántas octavas lleva la ley de Moore a sus espaldas? Para cuantificar este crecimiento, podemos tomar un punto de referencia sencillo. El primer microprocesador comercial, el Intel 4004 (1971), contenía unos 2.300 transistores, mientras que la GPU para IA R100 de NVIDIA cuenta con 336.000 millones de transistores, lo que equivale a un crecimiento de 27 octavas.
Durante varias décadas, la ley de Moore constituye un ejemplo casi ideal de crecimiento exponencial sostenido. Sin embargo, en los últimos años han aparecido limitaciones físicas y económicas que han reducido el ritmo de duplicación (en realidad, llevamos ya casi 30 años diciendo esto). Estas limitaciones no han detenido el crecimiento, sino que han forzado la aparición de nuevas soluciones: primero fue la reducción del tamaño de los transistores y la utilización de nuevos materiales, pero más adelante vinieron nuevas arquitecturas del transistor, el paralelismo (arquitecturas multinúcleo), la integración en tres dimensiones (apilamiento de microprocesadores) o los sistemas heterogéneos (combinando CPU, GPU y ahora aceleradores de IA en un único sistema). Estas innovaciones no eliminan los límites físicos, pero los desplazan o los sortean, permitiendo que la evolución tecnológica continúe mediante una sucesión de fases de crecimiento aproximadamente exponencial. En la siguiente gráfica (con escala vertical logarítmica) puede observarse claramente el crecimiento exponencial del número de transistores en los microprocesadores comerciales a lo largo de cinco décadas.
Fuente: OurWorldinData.org
El crecimiento exponencial en la microelectrónica no se limita a la ley de Moore. Ray Kurzweil, inventor y futurista estadounidense conocido por sus trabajos en reconocimiento de patrones y por su papel en el desarrollo de tecnologías digitales —Ray Kurzweil ha liderado el equipo de ingeniería de Google para que sus modelos de lenguaje no solo procesen datos, sino que comprendan el contexto semántico y conceptual de la mente humana—, propuso una generalización de esta idea bajo el nombre de ley de los rendimientos acelerados. Según Kurzweil, la ley de Moore no es más que un caso particular de un fenómeno más amplio: el progreso tecnológico no solo es exponencial, sino que la propia tasa de crecimiento también tiende a aumentar con el tiempo. Cada nueva generación de tecnología permite desarrollar herramientas más potentes, que a su vez aceleran el desarrollo de la siguiente, dando lugar a un proceso de realimentación positiva. Para cuantificar este fenómeno, Kurzweil utiliza indicadores relacionados con la eficiencia del procesamiento de información, típicamente expresada como capacidad de cálculo por unidad de coste (por ejemplo, operaciones por segundo y por dólar). Este tipo de magnitudes permite comparar tecnologías muy diferentes a lo largo del tiempo —desde los primeros sistemas electromecánicos hasta los circuitos integrados actuales— y observar una tendencia exponencial sostenida durante más de un siglo.
Fuente: Kurzweil Library. En este indicador, el crecimiento se acelera: pese a tener escala vertical logarítmica, la pendiente de la curva no es constante (una recta), sino que tiende a aumentar.
Si traducimos esta evolución a nuestro lenguaje de duplicaciones, el resultado es notable: el crecimiento acumulado de la capacidad de computación por unidad de coste desde comienzos del siglo XX hasta la actualidad abarca del orden de 53 octavas. Es decir, un fenómeno comparable, e incluso superior, al observado en la ley de Moore o en el comportamiento exponencial de dispositivos electrónicos como el diodo, y acercándose a las 55 octavas del margen de crecimiento de la producción mundial de arroz.
La conclusión que extrae Kurzweil de esta tendencia es aún más sorprendente. Si el crecimiento exponencial —y la aceleración de ese crecimiento— continúan, se alcanzará un punto en el que el progreso tecnológico será tan rápido y profundo que resultará imposible extrapolar el comportamiento del sistema. A este punto lo denomina singularidad tecnológica, y lo sitúa en torno a la mitad del siglo XXI. La singularidad no sería un fenómeno abrupto o inesperado, sino la consecuencia natural de un proceso prolongado de crecimiento exponencial sostenido durante décadas que llevaría a que la inteligencia artificial supere la capacidad humana, transformando radicalmente la civilización al fusionar, de manera irreversible, nuestras mentes con la tecnología digital.
Personalmente, soy más que escéptico con la singularidad de Kurzweil. Empezando por el indicador que propone para demostrar su ley de los rendimientos crecientes. El denominador de ese indicador es el coste económico, y como muy acertadamente señala la economía ecológica, debemos ser tremendamente escépticos con este tipo de indicadores. Los cálculos del coste económico son ciegos a una inmensidad de externalidades negativas que quedan ocultas al cálculo económico convencional. Muchas externalidades son difícilmente evaluables, y cuando algunos economistas las evalúan, asumen un principio de sustituibilidad que no es aplicable a multitud de conceptos. Sería mucho más adecuado evaluar este rendimiento de la capacidad de cómputo no basado en su coste económico convencional, sino considerando su huella ecológica. Dentro de esa huella ecológica, que inevitablemente debe ser multidimensional, un peso importante lo deben tener su huella de materiales y su huella energética, entendidas estas como el soporte material y energético imprescindible para realizar ese cómputo. Estoy convencido de que la evolución temporal de este indicador daría lugar a crecimientos exponenciales de largo recorrido, pero también lo estoy de que la evolución se aproximaría pasado un tiempo a la de una función logística —¡recordemos una vez más que la función logística tiene un arranque exponencial!—. ¿Por qué? Porque cualquier proceso con un soporte material —la IA lo tiene, como nuestro pensamiento—, requiere, como mínimo, de un uso de materiales y de un consumo de energía. Nuestro planeta es lo que en termodinámica se denomina un sistema cerrado: la disponibilidad de materiales en nuestro planeta es finita—los materiales utilizados se pueden recuperar tras su uso, pero eso tiene un coste energético, a menudo muy importante—, y el flujo de energía entrante (la energía solar) también es limitado. Tarde o temprano, estos límites energéticos y materiales entrarán en acción. De hecho, existen numerosos indicios de que la sociedad industrial global está ya aproximándose —y en algunos casos superando— esos límites biofísicos. Uno de los marcos más conocidos es el de los límites planetarios, que identifica umbrales críticos en procesos fundamentales del sistema terrestre (clima, biodiversidad, ciclos del nitrógeno y fósforo, agua dulce, etc.). Las evaluaciones más recientes muestran que varios de estos límites han sido ya sobrepasados, lo que incrementa el riesgo de cambios abruptos e irreversibles en el funcionamiento sistémico del planeta.
Me voy a centrar ahora en el aspecto energético, que conozco más de cerca. Y me voy a permitir una autocita. En 2008 escribí el libro Energia urriko mundu baterako gida, publicado por Manu Robles-Arangiz fundazioa. La idea central del libro era que un escenario futuro sostenible de nuestra civilización exige una transición energética de los combustibles fósiles a la explotación de los flujos de energía solar; pero esta transición, si quiere ser sostenible y justa, tiene que gestionar la escasez energética. Al analizar el potencial de las diferentes tecnologías que explotan los flujos de energía solar, realizaba en el libro un simple ejercicio prospectivo de lo que podía ser una futura evolución de la energía solar fotovoltaica en el mundo desde el año 2000 hasta 2030. Los resultados se sintetizan en las dos gráficas que muestro a continuación, y que paso a explicar.
La gráfica de la izquierda muestra la evolución de la potencia fotovoltaica mundial entre los años 2000 y 2030. La evolución se muestra tanto en potencia instalada como en coste económico. También se muestra tanto la potencia instalada anual, como la potencia instalada acumulada. Obsérvese que los ejes verticales (tanto en potencia, GW, como dinero, €) están en escala logarítmica. El comportamiento casi recto (se intuyen dos tramos, hasta 2020 y a partir de 2020) dejan claro que mi modelo asumía un crecimiento exponencial, que llevaría desde 2 GW de sistemas fotovoltaicos instalados en el año 2000 hasta 2 TW de potencia instalada en 2030 (2000 GW). En concreto, mi modelo suponía un crecimiento anual de la producción mundial de sistemas fotovoltaicos del 30% entre 2000 y 2010, del 35% entre 2010 y 2020, y del 20% de ahí a 2030. El modelo asumía un “efecto aprendizaje” del 18% en el ámbito económico, basado en la experiencia histórica. Esto significa que una duplicación de la potencia instalada trae consigo una reducción de los costes del 18%. Esto llevaría a una reducción de costes del 84% en 30 años. El modelo también consideraba un efecto aprendizaje energético, que implica una reducción del 15% en el tiempo de retorno energético (un indicador relacionado con la rentabilidad energética de la instalación, es decir, el coste energético invertido en la construcción del sistema por cada unidad de energía generada posteriormente). Los sistemas fotovoltaicos demandan una cantidad sustancial de energía en su fabricación, lo que los sitúa en una situación de déficit energético cuando empiezan a generar electricidad. Durante los primeros años de crecimiento exponencial, además, la generación eléctrica acumulada es muy reducida. Esto hace que el balance neto de energía disponible sea negativo los primeros años, y necesite dos décadas para superar el 70% de la generación total (gráfica de la derecha). Pero pasado un tiempo de crecimiento exponencial, los sistemas fotovoltaicos alcanzan un parque de generación enorme gracias a que resultan ser muy baratos y muy rentables energéticamente.
Como la inmensa mayoría de los estudios prospectivos, el mío también ha resultado ser (ligeramente) erróneo. Mientras que yo preveía 2 TW de sistemas fotovoltaicos en 2030, los últimos datos nos dicen que acabamos de superar los 3 TW a nivel mundial. Mis previsiones de crecimiento del 20% de la capacidad instalada a partir de 2020 se han visto claramente superadas, y estos últimos tres años el crecimiento anual ha rondado el 35%. Mi previsión de reducción de costes (85% en 30 años) también se ha visto superada, al llegar a ese nivel 5 años antes, y con margen para seguir reduciendo costes. Si tomamos como referencia la primera instalación conectada a red en Europa (Lugano) en 1982, de 10 kW, los 3 TW de capacidad instalada actualmente implican un crecimiento de 28 octavas [5. nota].
¿Significa esto que podemos esperar que el crecimiento de la generación fotovoltaica siga creciendo de manera indefinida? De ninguna manera. Para empezar, lo mismo que en un adulto humano el crecimiento celular sirve fundamentalmente para sustituir el tejido celular que va muriendo, en el futuro la capacidad productiva de sistemas fotovoltaicos estará orientada a sustituir los equipos que lleguen a su fin de vida —esperemos que con un altísimo grado de reciclado—. En estos momentos tenemos en el mundo una capacidad de fabricación anual de 1,8 TW de sistemas PV. Si suponemos un tiempo de vida en torno a 25 años, esto mantendría (de forma muy aproximada) un parque PV estacionario de 45 TW. Eso son solo 4 octavas más a añadir a las 28 calculadas más arriba. En paralelo, el actual crecimiento exponencial que vivimos también se verá afectado por otros límites que lo frenarán: aunque el reciclado y la reutilización de materiales aumente, estos nunca serán del 100%, y de cualquier forma el crecimiento en términos absolutos necesita materiales primarios nuevos; las necesidades de espacio también imponen límites; y otros límites tecnológicos, como la necesidad de almacenamiento eléctrico (por la noche no hay sol), también impondrán límites. Tarde o temprano, el actual crecimiento exponencial se transformará en un comportamiento logístico.
La aportación de la energía solar fotovoltaica será fundamental en cualquier escenario futuro sostenible. Asumiendo una productividad horaria anual de 1000 horas (una media mundial razonable, si se supone un despliegue enorme), 45 TW podrían suministrar 45000 TWh anuales. Esto es más que el consumo eléctrico anual mundial, que apenas supera los 30000 TWh, pero también es muy inferior al consumo primario total, que se acerca a los 180000 TWh. Volvemos, por tanto, a un escenario de escasez energética, que habrá que gestionar con justicia social y medioambiental.
Recapitulando
El crecimiento exponencial aparece de forma natural en el desarrollo de sistemas vivos, entendidos estos en un sentido amplio, dentro de la dinámica de sistemas: no nos referimos solo a organismos biológicos, sino también a sistemas sociales, económicos o tecnológicos que presentan capacidad de adaptación, reproducción o acumulación de complejidad. Un ejemplo claro es la civilización humana.
En todos estos sistemas, el comportamiento inicial suele estar dominado por el crecimiento. Ese crecimiento es muy a menudo exponencial, ya que la propia estructura del sistema hace que el desarrollo futuro dependa de su estado presente: cuanto más grande o más complejo es el sistema, mayor es su capacidad de seguir creciendo. El desarrollo embrionario de un ser humano constituye un ejemplo paradigmático: el número de células crece de forma prácticamente exponencial durante las primeras fases de la gestación. Sin embargo, este crecimiento inicial no es el estado “normal” del sistema, sino una fase transitoria. En el caso de un organismo humano, tras el nacimiento el crecimiento del número de células se ralentiza progresivamente y da paso a otro tipo de procesos: crecimiento en tamaño celular, diferenciación funcional, aprendizaje, adquisición de experiencia, desarrollo cultural, desarrollo espiritual. Este patrón es general. Los sistemas vivos no crecen indefinidamente, sino que tienden hacia estados de equilibrio dinámico. El crecimiento está limitado por factores internos y externos: disponibilidad de recursos, capacidad de procesamiento, estabilidad estructural, acumulación de residuos. Estos límites no son accidentes externos al sistema, sino una consecuencia inevitable de su propia dinámica. Precisamente por eso, el crecimiento exponencial acaba dando paso, de forma natural, a comportamientos de tipo logístico. En este contexto, conviene introducir el concepto de homeostasis. En un sistema vivo, el objetivo fundamental no es crecer sin límite, sino mantenerse en condiciones de funcionamiento estables frente a perturbaciones externas —ser resiliente—. La homeostasis implica esa capacidad de autorregulación: el mantenimiento de variables clave (temperatura, energía disponible, composición interna, etc.) dentro de ciertos márgenes compatibles con la supervivencia del sistema. El crecimiento debe ser entendido como una fase inicial que permite al sistema alcanzar una escala en la que la homeostasis puede operar de forma efectiva. Debe ser, por tanto, un proceso limitado en el tiempo. No es un fin en sí mismo, sino una etapa dentro de una dinámica más amplia. Pretender prolongar indefinidamente una fase de crecimiento exponencial en un sistema finito no solo es irreal, sino que introduce inestabilidades que acaban manifestándose de una forma u otra. Los procesos cancerígenos en los organismos vivos son un ejemplo de crecimiento descontrolado que rompe la homeostasis del sistema y acaba comprometiendo su viabilidad.
Lecciones para la civilización actual
Si aceptamos que el crecimiento exponencial es una fase natural pero transitoria en la evolución de los sistemas complejos, la pregunta inmediata es cómo encaja esta idea en el desarrollo de la civilización industrial contemporánea. La economía global de las últimas décadas —en realidad, de los dos últimos siglos— ha estado fuertemente basada en dinámicas de crecimiento sostenido, en muchos casos de carácter exponencial, tanto en producción material como en consumo de recursos y energía. La civilización industrial interpreta ese crecimiento no como una fase, sino como un objetivo en sí mismo. El crecimiento económico continuado —medido a través de indicadores como el PIB— se ha convertido en un principio organizador fundamental, entrando en tensión directa con la realidad biofísica de un planeta finito.
Desde esta perspectiva, una lección clave es que el crecimiento no puede constituir el fundamento último de un sistema económico viable a largo plazo. Debe entenderse, en todo caso, como una fase necesaria para alcanzar determinados niveles de desarrollo, pero no como un estado permanente. El desafío consiste en orientar ese crecimiento hacia una transición que desemboque en una economía estacionaria, capaz de mantenerse dentro de los límites biofísicos del planeta. Esta idea plantea interrogantes profundos sobre el modelo económico dominante. El capitalismo contemporáneo, en sus distintas variantes, se ha estructurado en torno a mecanismos que requieren crecimiento continuo: acumulación de capital, retorno de la inversión, expansión de los mercados. En ausencia de crecimiento, estos mecanismos tienden a generar tensiones internas (crisis financieras, desempleo, problemas de deuda) que dificultan la estabilidad del sistema. Por ello, la transición hacia una lógica estacionaria no es simplemente un desafío tecnológico, sino institucional y cultural. Implica repensar aspectos fundamentales como la distribución de la riqueza, los sistemas fiscales, el papel del trabajo o la definición misma de bienestar. Supone, en última instancia, desplazar el foco desde la cantidad de producción hacia la calidad de vida de todas las personas, dentro de un ecosistema viable.
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[1. nota] La condición de partida la podemos formular así:
Donde x es el crecimiento anual, y n el número de años. Tomando logaritmos:
Por otro lado, sabemos que si x<<1:
Tomando logaritmos:
Sustituyendo:
[2. nota] El crecimiento exponencial se puede modelizar mediante crecimientos discretos (un crecimiento del 1% anual) o mediante la derivada de funciones continuas, df(t)/dt. En cálculo trabajamos con funciones continuas, pero en los modelos numéricos de un algoritmo informático trabajaremos con crecimientos discretos. Ambos enfoques son equivalentes. La variación temporal de una función discreta con un crecimiento anual del 1% será:
Donde t toma valores discretos 1, 2, 3… Puede comprobarse que esto es equivalente a la siguiente función continua:
Un crecimiento anual del 1% equivale a un crecimiento infinetesinal del 0,995%.
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[3. nota] En nuestro primer año de la carrera de ingeniería, los compañeros contábamos un chiste (muy malo, me disculpo por adelantado): Se encuentran dos funciones en el espacio, y una le dice a la otra: “Te voy a derivar!” La otra le responde: “¡No me importa, soy exponencial de x!”
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[4. nota] El comportamiento logístico surge con naturalidad al utilizar el modelado de sistemas dinámicos complejos en base a flujos y fondos (flows & stocks). Imaginemos que estamos modelizando el crecimiento de una población. La población es el stock, y el crecimiento es el flujo. Es razonable suponer que el crecimiento (el flujo) es proporcional a la población (el stock), por un lado, y a la distancia entre esa población y la capacidad de carga (población máxima que puede soportar el entorno). Llevar este comportamiento al terreno matemático nos lleva a una función logística. Un ejemplo de estas modelizaciones, realizada en VENSIM, puede verse en Como si fuéramos hormigas. El colapso no es inevitable en sociedades complejas.
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[5. nota] Aunque sea infinitesimalmente, me siento partícipe del enorme éxito del desarrollo de la energía solar. Desde 1994 hasta 2008 colaboré como investigador pre y postdoctoral en la mejora de las tecnologías de fabricación industrial de células solares de silicio cristalino, las dominantes en el mercado.
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