Askotan zaila izaten da hazkunde esponentzialaren benetako ondorioak imajinatzea. Hori irudikatzeko, xakearen asmakizunarekin zerikusia duen antzinako istorio batera jo ohi da. Kondairaren arabera, jokoaren sortzaileak bere asmakizuna erregeari aurkeztu zionean, erregea hain txundituta geratu zen, ezen berak nahi zuen saria eskaini baitzion. Asmatzaileak itxuraz apala zen zerbait eskatu zuen: taularen lehen laukian arroz ale bakarra jartzea, bigarrenean bi, hirugarrenean lau, eta horrela hurrenez hurren, laukitxo bakoitzean kopurua bikoiztuz 64 osatu arte. Erregeak zalantzarik gabe onartu zuen, saria hutsaren hurrengoa zelakoan. Hala ere, laster konturatu zen eskaera apalak ikaragarrizko hazkundea ezkutatzen zuela: azken laukietara iristean, arroz kantitatea hain ikaragarria egiten zen, erresumako produkzio guztia gainditzen zuela mendeetan zehar. Ariketa hutsala zirudienak, azkenean, hazkunde esponentzialaren potentzia harrigarria erakusten zuen, eta fenomeno horrek, ia oharkabean hasten bada ere, oso urrats gutxiren buruan zifra astronomikoetara eraman dezake.
Taulako laukiekin dagokion arroza pilatzen badugu, Sn=2n−1 baturak 55. koadroa osatzen dugunean arrozaren urteko ekoizpen mundiala gainditzen du. Gure erreferentzia FAOren azken estimazioa da 2025/2026rako, 563,4 milioi tona ingurukoa, kilogramo batek 50.000 ale inguru barne hartzen dituela suposatuz. Emaitza horrek erakusten du metatutako hazkunde esponentziala mundu mailako ekoizpen-mailak ere gainditzen dituela pausu gutxitan.
55 bikoizketa behar genituen muga fisiko esanguratsu batera iristeko. Elektronika eta telekomunikazioen arloan, bider bi faktoreko hazkunde mota hau normalean “oktaba” terminoa erabiliz deskribatzen da, musikaren analogia moduan hartua, non oktaba bakoitzak frekuentziaren bikoizketa adierazten baitu. Datu hauek gordeko ditugu: arrozaren kasuan, munduko ekoizpena 55 oktabako hazkunde esponentziala du.
Zenbat denbora behar du hazkunde esponentzialak magnitudea bikoizteko? Normalean honako arau orokor hau ematen da: urtean %x hazkundeak magnitudea bikoizten du 70/x urteetan. Urteko %2ko hazkundeak 35 urte beharko lituzke bikoizteko, eta %7ko hazkundeak 10 urte besterik ez lituzke behar. Arau hau frogatzea ez da zaila [1. oharra].
Hazkunde esponentzialaren abiadura ulertzeko, askotan mikroorganismo bakar batekin inokulatutako petri plaka bat irudikatuz azaltzen digute. Laborategiko baldintza egokietan, azkar hazten diren bakterio askok—hala nola Escherichia coli—20 minutuko bikoizketa denbora izaten dute. Zelula bakar batetik abiatzen bagara eta hurrenez hurren zatitzen bada, populazioak 2n progresioa jarraitzen du, beraz, 30 bikoizketa inguru egin ondoren, mila milioi zelula inguru lortzen dira, hau da, petri plaka baten edukiera gutxi gorabehera. Honek esan nahi du, ustez, plaka guztiz kolonizatuta egongo litzatekeela 10 ordu inguruan (30×20′).
Adibide hau zientzia popularrean ohikoa bada ere, hitzez hitz interpretatzen bada, engainagarria ere bada. Esan daiteke, bakterio batek bere populazioa 20 minuturo bikoizten badu, plaka erdi beteta egongo dela guztiz asetu baino 20 minutu lehenago, eta %12,5ean beteta, guztiz kolapsatu baino ordu bat lehenago. Ondorio hau zuzena da hazkunde esponentzial mugagabearen suposizio zorrotzaren arabera, baina hipotesi hori faltsua da edozein sistema biologiko errealetan. Petri plaka batean—edozein ingurune mugatuetan bezala—populazioa ez da bikoizten azken unean arte: azalera guztiz estalita egon baino askoz lehenago, bakterioek elikagaien murrizketa, hondakinen pilatzea, espazioaren lehiaketa eta hazkunde tasa nabarmen moteltzen duten metabolismo mugak jasaten hasten dira. Egoera horietan, dinamika ez da esponentziala izaten eta hobeto deskribatzen dira modelo logistiko batekin, non hazkundea pixkanaka moteltzen den, populazioa mugara edo karga-ahalmenera hurbiltzen den heinean. Beraz, “kolapsoaren” azken momentura arte mantentzen den hazkunde geldiezinaren irudia sinplifikazio erabilgarria da bikoizketen indarra erakusteko, baina ez du bakterio-hazkuntza baten edo beste sistema fisiko askoren portaera benetakoa islatzen.
Matematika analisi pixka bat (ez asko)
Orain arte esan dena matematikoki adieraz dezagun.
Hazkunde esponentzialean magnitude baten denbora-aldaketa magnitude horrekin proportzionala da. Adibidez, urtean %1eko hazkundea hazkunde esponentziala da. Analitikoki, suposa dezagun f(t) funtzio bat:
Non a hazkunde tasa baita (adibidez, urteko %1; 0,01). Kasu honetan, f(t) funtzioa, t urteetan adierazita, honela adierazten da (horretarako aurreko ekuazio diferentziala ebatzi behar dugu):
Non f0, t=0 unean f-k hartzen duen balioa baita [2. oharra].
Portaera esponentzialak beste berezitasun berezi bat du. Magnitudea esponentzialki hazten bada, hazkundearen aldaketa-tasa ere esponentziala izango da (hazkundearen hazkundea: f-ren deribatua), eta hazkunde metatua (f-ren integrala) ere esponentziala izango da [3. oharra]. Honek esan nahi du magnitudeak portaera esponentziala badu, portaera hori, zuzenean erlazionatuta dauden beste magnitude askotan ere agertuko dela.
Orain ikus dezagun modelo logistikoa —petri plaka batean bakterio populazio baten hazkundea—. Funtzio logistiko baten adierazpen sinpleena (koefiziente desberdinak 1 bihurtuz, sinpletasunagatik; funtzio logistiko estandarra da hau) honela da:
Ekuazio diferentzial hau ebaztean, f(t) balio oso txikietatik hasten da (f(0) ia 0), eta inoiz ez du 1 balioa gainditzen. Ondorengo irudiek funtzio logistikoaren jokabidea denboraren funtzio gisa erakusten dute (Iturria: funtzio logistikoa, wikipedia).
Goiko ezkerreko grafikoak (“posizioa”) f funtzioaren denbora-bilakaera erakusten du. S formakoa da; beraz, sigmoide funtzio ere deitzen zaio. Kurbaren hazkundearen hasiera esponentziala da. Ikus daiteke f(t)<<1 bada (hasieran gertatzen den bezala), sortzen den ekuazio diferentziala hazkunde esponentzialaren berdina dela. Beheko ezkerreko grafikoak (“abiadura”) funtzioaren hazkunde tasa erakusten du. Hasiera ere esponentziala da, baina maximo batera iristen da eta handik aurrera hazkundea moteldu egiten da, ia zero bihurtu arte. Kanpai itxurakoa da. Honek f funtzioa 1era eramaten du, eta inoiz ez du balio hori gainditzen. Goiko eskuineko grafikoak (“azelerazioa”) hazkundearen aldaketa tasa erakusten du. Esponentzialki hasten da, hazkundearen kanpaiaren igoeran bere balioa positiboa da, kanpaiaren gailurrean zero bihurtzen da, eta kanpaiaren jaitsieran bere balioa negatiboa bihurtzen da (hazkundea murrizten da, ia zero bihurtu arte amaieran).
Portaera logistikoa oso erraza da modelizatu eta aztertzeko. Naturan hazkunde prozesuen menpe dauden fenomeno ugari, kanpoko faktoreek mugatzen dituztenak, funtzio logistikoaren aldaeren bidez modela daitezke gutxi gorabehera. Sistemak hasieran modu esponentzialean hazten dira, kanpoko mugak (espazioaren eskuragarritasuna, baliabide materialak, energia, hondakin-iturriak, egitura-mugak) hazkundeari muga bat ezartzen dioten arte [4. oharra].
Asetasunerako joera duen hazkunde esponentzialaren adibideak, Naturan
Gizakiaren gorputzeko zelula kopurua zelula bakar batetik (zigoto) izatetik helduaroan 30.000 milioi ingurura eboluzionatzen da. Lehen egunetan, hazkundea esponentziala da, blastozistoan 1etik 100–200 zelula ingurura pasatuz. Enbrioi eta fetuaren garapenean kopurua hainbat ordena handitzen da, jaiotzean 1012 zelula ingurura iritsiz. Jaiotza ondoren, hazkundea moteldu egiten da helduaroan egonkortu arte, non zelulen zatiketaren eta zelulen heriotzaren arteko oreka dinamikoa dagoen. Guztira, gizakiaren gorputzeko zelula kopuruaren hazkundea gutxi gorabehera 45 oktaba ditu 18 urteetan, nahiz eta lehen 40 oktabak haurdunaldiaren lehen 5 hilabeteetan estaltzen diren. Momentu horretatik aurrera, zelula kopuruaren hazkundea askoz moderatuagoa da, eta zelula batzuk, batez ere, tamainan hazten dira. Beheko irudiak eboluzio hau erakusten du.
Kontuan izan grafikoaren ardatz bertikala eskala logaritmikoa dela, ez lineala. Ardatz bertikal logaritmiko duen irudikapen batean, hazkunde esponentziala lerro gisa agertzen da, eta horrek adierazten du magnitudea faktore berdinarekin biderkatzen dela denbora tarte berdinetan.
Asetasunerako joera duen hazkunde esponentzialaren beste adibide bat elektronikan aurkitzen dugu, zehazki diodo baten portaeran. Diodoa material erdieroalearen pn juntura bat da, eta mikroelektronikako gailurik oinarrizkoena da. Bere kontaktuen artean tentsio-diferentzia positiboa (V) aplikatuz, korronte elektriko bat (I) diodoaren bidez zirkulatzen da. pn juntura batean korrontea eta tentsioa lotzen dituen ekuazioak fisika kuantikoaren, mekanika estatistikoaren eta termodinamika klasikoaren printzipioak konbinatzen ditu; Shockley-k (transistorearen asmatzaileetako batek) 1949an proposatu zuen ekuazioa, eta horrek portaera esponentziala du. Diodo ideal batean:
Non IS diodoaren asetasuneko korrontea den, VT tenperaturaren menpeko parametroa den (26 mV ingurukoa giro tenperaturan), eta n 1 eta 2 arteko idealitate faktorea den. Portaera esponentzial horren ondorioz, diodo batek oso korronte handiak eroaten ditu, eta korronte horiek desegin egingo lukete aplikatutako tentsioa volt bat baino gehixeagora iristen bada. Baina diodo erreal batean beste fenomeno batzuk daude, eta horiek mugatzen dute gehiegizko korronte hori. Diodoaren atal desberdinek erresistentzia ohmniko txikiak dituzte (ΣR) korronteren pasatzeari dagokionez, eta erresistentzia horiek junturari aplikatutako tentsioa mugatzen dute:
1N4007 bezalako siliziozko diodo arrunt baten kasuan, gure elektronika irakaskuntzako laborategietan ezagunena, korrontea esponentzialki handitzen da aplikatutako tentsioarekin, nanoampere inguruko korronteetatik ampere bat ingururaino. Ordutik aurrera, gailuaren erresistentzia serieak muga ohmiko bat sartzen du, eta horrek portaera esponentziala mugatzen du. Beraz, diodo horretako korrontearen hazkunde esponentziala 30 oktaba ingurura hedatzen da, eta gailuaren funtzionamenduaren beste mekanismo batzuek (adibidez, erresistentzia ohmnikoen existentziak) bere burua mugatzen dute.
Hazkunde esponentziala ez da sistema biologikoetan edo eredu matematiko abstraktuetan bakarrik agertzen. Mikroelektronikaren garapenean ere oso argi agertzen da. Adibiderik ezagunena Moore-ren legea da. 1965ean Gordon Moorek formulatua—beste zazpi zientzialarirekin batera, diodoak fabrikatzen zituen Shockley-ren enpresa utzi zuen bere estilo autoritarioagatik eta Fairchaild eta Intel enpresak sortu zituen azken, 50eko hamarkadaren amaieran—lege honek ezartzen du: zirkuitu integratu batean integratu daitezkeen transistore kopurua bi urtero bikoizten dela. Transistore kopurua zuzenean konputazio-ahalmenarekin lotuta dagoenez, bikoizketa horrek konputazio ahalmenaren hazkunde esponentziala dakar. Beste modu batera esanda, bi urtero “oktaba” teknologiko bat sortzen da: mikroprozesadoreen konputazio-ahalmena bider bi biderkatzen da. Portaera hori, erregulartasun handiz, mende-erdi baino gehiagoz mantendu da, eta sistema teknologiko baten hazkunde esponentzialaren adibiderik ikusgarrienetako eta jarraituenetako bat da.
Zenbat oktaba ditu Moore-ren legeak atzean? Hazkunde hori kuantifikatzeko, erreferentzia sinple bat har dezakegu. Lehen mikroprozesadore komertziala, Intel 4004 (1971), 2.300 transistore inguru zituen, eta NVIDIAren R100 AI GPUak 336 mila milioi transistore ditu, hau da, 27 oktabako hazkundearen baliokidea.
Zenbait hamarkadatan, hazkunde esponentzial iraunkorraren adibide ia ideala izan da Mooreren legea. Hala ere, azken urteetan muga fisiko eta ekonomikoak agertu dira, eta bikoizketa erritmoa murriztu dute (egia esan, ia 30 urte daramatzagu hori esaten). Muga horiek ez dute hazkundea geldiarazi, baizik eta soluzio berrien agerpena behartu dute: lehenik, transistoreen tamaina txikitzea eta material berriak erabiltzea izan zen, baina aurrerago transistorearen arkitektura berriak etorri ziren, paralelismoa (multinukleoko arkitekturak), hiru dimentsioko integrazioa (mikroprozesadoreen pilaketa) edo sistema heterogeneoak (CPU, GPU eta, orain, IAren azeleragailuak sistema bakarrean konbinatuz). Berrikuntza horiek ez dituzte muga fisikoak ezabatzen, baina mugiarazi edo saihestu egiten dituzte, eta, hala, eboluzio teknologikoak jarraitu egiten du, gutxi gorabehera esponentziala den hazkunde-faseen segida baten bidez. Hurrengo grafikoan (eskala bertikal logaritmikoarekin) argi ikus daiteke mikroprozesadore komertzialetako transistore-kopuruaren hazkunde esponentziala bost hamarkadatan.
Iturria: OurWorldinData.org
Mikroelektronikan hazkunde esponentziala ez da Moore-ren legera mugatzen. Ray Kurzweil-ek, asmatzaile eta futurista estatubatuarra, ezaguna patroien ezagutzan egindako lanengatik eta teknologia digitalen garapenean egindako lanagatik —Ray Kurzweil-ek Googleren ingeniaritza-taldea gidatu du, haren hizkuntza-ereduek datuak prozesatzeaz gain giza adimenaren testuinguru semantikoa eta kontzeptuala uler dezaten—, ideia hori orokortzea proposatu zuen, errendimendu azeleratuen lege izenpean. Kurzweil-en arabera, Moore-ren legea fenomeno zabalago baten kasu berezi bat besterik ez da: aurrerapen teknologikoa esponentziala izateaz gain, hazkunde-tasak berak ere gora egiten du denborarekin. Teknologia-belaunaldi berri bakoitzak tresna ahaltsuagoak garatzeko aukera ematen du, eta horrek, aldi berean, hurrengo belaunaldiaren garapena bizkortzen du, eta, hala, berrelikadura-prozesu positibo bat sortzen da. Fenomeno hori kuantifikatzeko, Kurzweil-ek informazio-prozesamenduaren eraginkortasunarekin lotutako adierazleak erabiltzen ditu, normalean kostu-unitateko kalkulu-ahalmen gisa adierazia (adibidez, eragiketak segundoko eta dolarreko). Horrelako magnitudeei esker, oso teknologia desberdinak konpara daitezke denboran zehar —hasi lehen sistema elektromekanikoetatik eta egungo zirkuitu integratuetaraino—, eta mende bat baino gehiagoz joera esponentzial iraunkorra ikus daiteke.
Iturria: Kurzweil Liburutegia. Adierazle horretan, hazkundea azkartzen da: eskala bertikal logaritmikoa izan arren, kurbaren malda ez da konstantea (lerro bat), baina handitzen da.
Eboluzio hori bikoizketen gure hizkuntzara ekarriz gero, emaitza nabarmena da: XX. mendearen hasieratik gaur egun arte, kostu-unitateko konputazio-ahalmenaren hazkunde metatua 53 oktabaren ingurukoa da. Hau da, Mooreren legean edo diodoa bezalako gailu elektronikoen portaera esponentzialean ikusitakoaren antzeko fenomenoa da, are handiagoa, eta munduko arroz-ekoizpenaren hazkunde-marjinaren 55 oktabetara hurbiltzen dena.
Kurzweilek joera horretatik ateratzen duen ondorioa are harrigarriagoa da. Hazkunde esponentzialak —eta hazkunde horren azelerazioak— aurrera jarraitzen badu, aurrerapen teknologikoa hain azkarra eta sakona izango den puntu batera iritsiko da, non ezinezkoa izango baita sistemaren portaera estrapolatzea. Horri singularitate teknologikoa deitzen dio, eta XXI. mendearen erdi inguruan kokatzen du. Singularitatea ez litzateke fenomeno malkartsua edo ustekabekoa izango, baizik eta hamarkada luzez iraun duen hazkunde esponentzialeko prozesu luze baten ondorio naturala. Prozesu horren ondorioz, adimen artifizialak giza ahalmena gainditu eta zibilizazioa errotik eraldatuko luke, gure adimenak teknologia digitalarekin bat eginez, modu atzeraezinean.
Pertsonalki, eszeptikoa baino gehiago naiz Kurzweilen singularitatearekin. Hasteko, errendimendu gero eta handiagoen legea frogatzeko proposatzen duen adierazlea. Adierazle horren izendatzailea (adierazlea kalkulatzeko frakzioan beheko magnitudea) kostu ekonomikoa da, eta ekonomia ekologikoak oso egoki adierazten duenez, oso eszeptikoak izan behar dugu adierazle horiekin. Kostu ekonomikoaren kalkuluak itsuak dira kalkulu ekonomiko konbentzionalak barneratzen ez dituen kanpo-efektu negatibo ikaragarriekin. Kanpo-efektu asko nekez ebalua daitezke, eta ekonomialari batzuek ebaluatzen dituztenean, beren gain hartzen dute ordezkagarritasun-printzipioa, hainbat kontzeptutan aplikatu ezin dena. Askoz egokiagoa litzateke prozesamendu-ahalmenaren errendimendu hori ebaluatzea, ez ohiko kostu ekonomikoan oinarrituta, baizik eta haren aztarna ekologikoa kontuan hartuta. Ezinbestean multidimentsionala izan behar duen aztarna ekologiko horren barruan, garrantzi handia izan behar dute materialen aztarnak eta haien energia-aztarnak, zenbaketa hori egiteko ezinbesteko euskarri material eta energetiko gisa ulertuta. Ziur nago adierazle horren denbora-bilakaerak ibilbide luzeko hazkunde esponentzialak ekarriko lituzkeela, baina ziur nago, halaber, bilakaera funtzio logistiko baten bilakaerara hurbilduko litzatekeela denbora bat igaro ondoren —gogora dezagun, beste behin ere, funtzio logistikoak abiatze esponentziala duela!—. Zergatik? Izan ere, euskarri materiala duen edozein prozesuk —IAk badu, gure pentsamenduak bezala—, gutxienez, materialak erabiltzea eta energia kontsumitzea eskatzen du. Gure planeta da termodinamikan sistema itxia esaten zaiona: gure planetan materialen eskuragarritasuna mugatua da —erabilitako materialak berreskura daitezke erabili ondoren, baina horrek kostu energetiko handia du, askotan oso garrantzitsua—, eta sartzen den energiaren fluxua ere (eguzki-energia) mugatua da. Lehenago edo geroago, energia- eta material-muga horiek martxan jarriko dira. Izan ere, gaurko gizarte industrializatu globala muga biofisiko horietara hurbiltzen —eta, kasu batzuetan, gainditzen— ari dela adierazten duten zantzu ugari daude. Planeten mugak da esparru ezagunenetako bat, eta Lurreko sistemaren oinarrizko prozesuetako atalase kritikoak identifikatzen ditu (klima, biodibertsitatea, nitrogenoaren eta fosforoaren zikloak, ur geza, etab.). Azken ebaluazioek erakusten dutenez, muga horietako batzuk gainditu egin dira dagoeneko, eta horrek areagotu egiten du planetaren funtzionamendu sistemikoan aldaketa gogorrak eta atzeraezinak gertatzeko arriskua.
Energiaren arloan zentratuko naiz orain, hurbilagotik ezagutzen dudana. Eta utz iezadazue neure buruaren aipamen bat egiten. 2008an Energia urriko mundu baterako gida liburua idatzi nuen, Manu Robles-Arangiz fundazioak argitaratua. Liburuaren ideia nagusia zen gure zibilizazioaren etorkizuneko agertoki jasangarri batek erregai fosiletatik eguzki-energiaren fluxuen ustiapenerako trantsizio energetikoa eskatzen duela; baina trantsizio horrek, iraunkorra eta bidezkoa izan nahi badu, energia-urritasuna kudeatu behar du. Eguzki-energiaren fluxuak ustiatzen dituzten teknologien potentziala aztertzean, 2000. urtetik 2030era arte munduan eguzki-energia fotovoltaikoak izan dezakeen bilakaeraren azterketa prospektibo sinplea egiten nuen liburuan. Emaitzak jarraian azalduko ditudan bi grafikoetan laburbiltzen dira.
Ezkerreko grafikoak munduko potentzia fotovoltaikoak 2000 eta 2030 urteen artean izan duen bilakaera erakusten du. Bilakaera instalatutako potentzian eta kostu ekonomikoan ageri da. Urteko potentzia instalatua eta metatutako potentzia instalatua ere erakusten dira. Ohartu zaitezte ardatz bertikalak (bai potentzia, GW, bai dirua, €) eskala logaritmikoan daudela. Portaera ia zuzenak (bi tarte aurreikusten dira, 2020ra arte eta 2020tik aurrera) argi uzten du nire modeloak hazkunde esponentziala izango zuela: 2000. urtean instalatutako sistema fotovoltaikoen 2 GW-tik 2030ean instalatutako potentziaren 2 TW-ra (2000 GW). Zehazki, nire modeloaren arabera, sistema fotovoltaikoen munduko ekoizpena %30 haziko zen urteko 2000 eta 2010 artean, %35 2010 eta 2020 artean, eta %20 hortik 2030era. Ereduak %18ko “ikasketa efektua” hartzen zuen arlo ekonomikoan, esperientzia historikoan oinarrituta. Horrek esan nahi du instalatutako potentzia bikoiztuz gero kostuak %18 murriztuko direla. Horren ondorioz, 30 urtean kostuak %84 murriztuko lirateke. Energia-ikaskuntzako efektua ere kontuan hartzen zuen modeloak, eta energia itzultzeko denbora %15 murrizten du (instalazioaren energia-errentagarritasunarekin lotutako adierazle bat da, hau da, ondoren sortutako energia-unitate bakoitzeko sistema eraikitzeko erabilitako energia-kostua). Sistema fotovoltaikoek energia-kantitate handia eskatzen dute beren fabrikazioan, eta, beraz, energia-defiziteko egoeran daude elektrizitatea sortzen hasten direnean. Hazkunde esponentzialeko lehen urteetan, gainera, metatutako elektrizitate-sorkuntza oso txikia da. Horren ondorioz, energia erabilgarriaren balantze garbia negatiboa da lehen urteetan, eta bi hamarkada behar dira sorkuntza osoaren %70 gainditzeko (eskuineko grafikoa). Baina hazkunde esponentzialeko denbora bat igaro ondoren, sistema fotovoltaikoak sorkuntza-parke ikaragarri batera iristen dira, oso merkeak eta energetikoki oso errentagarriak direlako.
Azterketa prospektibo gehienak bezala, nirea ere okerra izan da (pixka bat). Nik 2030erako 2 TW sistema fotovoltaiko aurreikusten nituen bitartean, azken datuek diote 3 TW gainditu berri ditugula mundu mailan. 2020tik aurrera instalatutako potentziaren %20ko hazkundearen aurreikuspenak nabarmen gainditu dira, eta azken hiru urte hauetan urteko hazkundea %35 ingurukoa izan da. Kostuak murrizteko nire aurreikuspena ere (%85 30 urtean) gainditu egin da, 5 urte lehenago maila horretara iristen, eta kostuak murrizten jarraitzeko marjinarekin. 1982an Europan sarera konektatutako lehen instalazioa (Lugano, Suitza) erreferentziatzat hartzen badugu, 10 kW-ekoa, gaur egun instalatuta dagoen 3 TW-ek 28 oktabako hazkundea suposatzen dute [5. oharra].
Horrek esan nahi du espero dezakegula sorkuntza fotovoltaikoaren hazkundeak mugarik gabe hazten jarraitzea? Inola ere ez. Hasteko, gizaki heldu batean zelulen hazkundeak hiltzen ari diren zelulak ordezteko balio duen bezala, etorkizunean sistema fotovoltaikoen ekoizpen-ahalmena bizi-amaierara iristen diren sistemak ordeztera bideratuta egongo da —espero dezagun birziklatze-maila oso altuarekin—. Gaur egun, PV sistemen 1,8 TW fabrikatzeko gaitasuna dugu munduan. 25 urte inguruko bizitza suposatzen badugu, horrek (gutxi gorabehera) 45 TW-eko PV parke egonkor bat mantenduko luke. Hori 4 oktaba gehiago besterik ez dira, gorago kalkulatutako 28ei gehitu beharrekoak. Aldi berean, gaur egun bizi dugun hazkunde esponentzialari ere eragingo diote hura geldiaraziko duten beste muga batzuek: nahiz eta materialen birziklapena eta berrerabilpena handitu, horiek ez dira inoiz %100ekoak izango, eta edonola ere, hazkundeak, termino absolutuetan, material primario berriak behar ditu; espazio-beharrek ere mugak ezartzen dituzte; eta beste muga teknologiko batzuek ere mugak ezarriko dituzte, hala nola biltegiratze elektrikoaren beharrak (gauez ez dago eguzkirik). Lehenago edo geroago, egungo hazkunde esponentziala portaera logistiko bihurtuko da.
Eguzki-energia fotovoltaikoaren ekarpena funtsezkoa izango da etorkizuneko edozein egoera iraunkorretan. Urteko 1000 orduko produktibitatea suposatuz gero (munduko batez besteko arrazoizko bat, sistema hauen hedapen handia suposatzen badugu), 45 TW-ek 45000 TWh hornituko lituzkete urtean. Hori munduko urteko elektrizitate-kontsumoa baino gehiago da (30000 TWh baino pixka bat gehiago), baina kontsumo primario osoa baino askoz ere txikiagoa da (180000 TWh ingurukoa). Beraz, energia-urritasunaren egoerara itzultzen gara, eta justizia sozialarekin eta ingurumen-justiziarekin kudeatu beharko da.
Laburbilduz
Hazkunde esponentziala modu naturalean agertzen da sistema bizien garapenean, horiek zentzu zabalean ulertuta, sistemen dinamikaren barruan: ez gara organismo biologikoez bakarrik ari, baizik eta egokitzeko, ugaltzeko edo konplexutasuna metatzeko gaitasuna duten sistema sozial, ekonomiko edo teknologikoez ere ari gara. Adibide argi bat giza zibilizazioa da.
Sistema horietan guztietan, hasierako portaeran hazkundea izan ohi da nagusi. Hazkunde hori, askotan, esponentziala izaten da, sistemaren egiturak berak eragiten baitu etorkizuneko garapena egungo egoeraren mende egotea: sistema zenbat eta handiagoa edo konplexuagoa izan, orduan eta gaitasun handiagoa du hazten jarraitzeko. Gizaki baten enbrioi-garapena adibide paradigmatikoa da: zelula kopurua ia modu esponentzialean hazten da ernaldiaren lehen faseetan. Hala ere, hasierako hazkunde hori ez da sistemaren egoera “normala”, fase iragankor bat baizik. Giza organismo baten kasuan, jaio ondoren zelula kopuruaren hazkundea mantsotu egiten da pixkanaka, eta beste prozesu mota batzuei ematen die bide: zelulak tamainan haztea, desberdintze funtzionala, ikastea, esperientzia hartzea, garapen kulturala, garapen espirituala. Patroi hau orokorra da. Sistema biziak ez dira etengabe hazten, oreka dinamikoko egoeretarantz jotzen dute. Hazkundea barruko eta kanpoko faktoreek mugatzen dute: baliabideen eskuragarritasuna, prozesatzeko gaitasuna, egituraren egonkortasuna, hondakinen metaketa. Muga horiek ez dira sistematik kanpoko istripuak, bere dinamika propioaren ondorio saihestezina baizik. Horrexegatik, hain zuzen ere, hazkunde esponentzialak bide ematen die, modu naturalean, izaera logistikoko jokabideei. Testuinguru horretan, homeostasi kontzeptua sartzea komeni da. Sistema bizi batean, funtsezko helburua ez da mugarik gabe haztea, baizik eta kanpoko perturbazioen aurrean funtzionamendu-baldintza egonkorretan irautea —erresilientea izatea—. Homeostasiak autorregulazio-ahalmen hori ekartzen du: aldagai giltzarrien (tenperatura, energia erabilgarria, barne-konposizioa, etab.) mantentzea, sistemaren biziraupenarekin bateragarriak diren marjina batzuen barruan. Hazkuntza hasierako fase gisa ulertu behar da, eta horri esker, homeostasiak modu eraginkorrean operatzeko moduko eskala bat lor dezake sistemak. Denboran mugatutako prozesua izan behar du hazkundeak, beraz. Ez da berez helburua, dinamika zabalago baten baitako etapa baizik. Sistema finitu batean hazkunde esponentzialeko fase bat mugarik gabe luzatu nahi izatea irreala izateaz gain, ezegonkortasunak sortzen ditu, eta ezegonkortasun horiek modu batera edo bestera agertzen dira. Organismo bizietako prozesu kantzerigenoak kontrolik gabeko hazkundearen adibide dira, sistemaren homeostasia apurtu eta, azkenean, bideragarritasuna kolokan jartzen dutenak.
Ikasgaiak gaur egungo zibilizaziorako
Hazkunde esponentziala sistema konplexuen bilakaeran fase naturala baina iragankorra dela onartzen badugu, berehalako galdera da nola txertatzen den ideia hori gaurko zibilizazio industrialaren garapenean. Azken hamarraldietako ekonomia globala —egia esateko, azken bi mendeetakoa— hazkunde jarraituko dinamiketan oinarritu da irmoki, eta, askotan, dinamika horiek esponentzialak izan dira, bai ekoizpen materialean, bai baliabide- eta energia-kontsumoan. Zibilizazio industrialak hazkunde hori ez du fase gisa interpretatzen, helburu gisa baizik. Hazkunde ekonomiko jarraitua —BPGa bezalako adierazleen bidez neurtua— funtsezko printzipio antolatzaile bihurtu da, planeta finitu baten errealitate biofisikoarekin tentsio zuzenean sartuz.
Ikuspegi horretatik, funtsezko ikasgai bat da hazkundea ezin dela izan epe luzera bideragarria izango den sistema ekonomiko baten azken oinarria. Nolanahi ere, garapen-maila jakin batzuk lortzeko beharrezko fase gisa ulertu behar da, baina ez egoera iraunkor gisa. Erronka da hazkunde hori ekonomia egonkorrera eramango duen trantsiziora bideratzea, planetaren muga biofisikoen barruan mantentzeko gai izango den ekonomiara, alegia. Ideia horrek galdera sakonak planteatzen ditu nagusi den eredu ekonomikoaren inguruan. Kapitalismo garaikidea, bere aldaera guztietan, etengabeko hazkundea eskatzen duten mekanismoen inguruan egituratu da: kapital metaketa, inbertsioaren itzulera, merkatuen hedapena. Hazkunderik ezean, mekanismo horiek barne-tentsioak sortzen dituzte (finantza-krisiak, langabezia, zor-arazoak), eta horrek sistemaren egonkortasuna zailtzen du. Hori dela eta, logika egonkorrerako trantsizioa ez da erronka teknologiko hutsa, instituzional eta kulturala baizik. Funtsezko elementuak birpentsatu behar dira, hala nola aberastasunaren banaketa, zerga-sistemak, lanaren eginkizuna edo ongizatearen definizioa bera. Azken batean, fokua ekoizpen-kantitatetik pertsona guztien bizi-kalitatera eramatea dakar, ekosistema bideragarri baten barruan.
—
[1. oharra] Hasierako baldintza honela formulatu daiteke:
Non x urteko hazkundea baita, eta n urte kopurua. Logaritmoak hartuz:
Bestalde, badakigu x<<1 dela:
Logaritmoak hartuz:
Ordezkatuz:
[2. oharra] Hazkunde esponentziala hazkunde diskretuen bidez modela daiteke (urtean %1eko hazkundea) edo funtzio jarraiko deribatuaren bidez, df(t)/dt. Kalkuluan funtzio jarraituekin lan egiten dugu, baina algoritmo informatiko baten modelo numerikoetan hazkunde diskretuekin lan egingo dugu. Bi ikuspegiak berdinak dira. Urteko %1eko hazkundea duen funtzio diskretu baten denbora-aldaketa honako hau izango da:
Non t-k 1, 2, 3… balio diskretuak hartzen baititu. Hau honako funtzio jarraituaren baliokidea dela aurki daiteke:
Urteko %1eko hazkundea %0,995eko hazkunde infinetesinalaren baliokidea da.
[itzuli]
[3. oharra] Ingeniaritzako ikasketen lehen urtean, ikaskideok honako txiste hau kontatzen genuen (oso txarra, barkatu aldez aurretik): Espazioan bi funtzio daude, eta batek besteari esaten dio: “Zure deribatua egingo dut!” Besteak erantzuten du: “Ez zait axola, x-ren esponentziala naiz-eta!”
[itzuli]
[4. oharra] Portaera logistikoa naturaltasunez sortzen da, sistema dinamiko konplexuen modeloak fluxu eta funtsetan (flows & stocks) oinarritzen direnean. Demagun populazio baten hazkundea modelizatzen ari garela. Populazioa funtsa da, eta hazkundea, berriz, fluxua. Zentzuzkoa da pentsatzea hazkundea (fluxua) populazioarekiko (funtsa) proportzionala dela, batetik, eta populazio horren eta karga-ahalmenaren (inguruneak jasan dezakeen populazio maximoa) arteko distantziarekiko proportzionala, bestetik. Portaera hori matematikaren alorrera eramateak funtzio logistiko batera garamatza. Modelizazio horien adibide bat, VENSIMen egina, Inurriak baikinan. Kolapsoa ez da saihestezina gizarte konplexuetan lanean ikus daiteke.
[itzuli]
[5. oharra] Infinitesimalki bada ere, eguzki-energiaren garapenak izan duen arrakasta izugarriaren partaide sentitzen naiz. 1994tik 2008ra doktoretza aurreko eta ondoko ikertzaile gisa aritu nintzen lanean, silizio kristalinoko eguzki-zelulen fabrikazio industrialeko teknologiak hobetzen, merkatuan nagusi direnak.
[itzuli]